Ondas

Sabemos que la mayoría de los objetos elásticos, pensemos en un sistema resorte-masa, oscilan cuando se les aplica una fuerza. Incluso los átomos de un sólido oscilan con respecto a una posición de equilibrio, como si estuvieran conectados con sus vecinos por medio de resortes imaginarios.

Las ondas se relacionan estrechamente con el fenómeno de oscilación. Las ondas sonoras, las ondas en cuerdas alargadas y las ondas en el agua son producidas por alguna fuente en vibración. A medida que una onda sonora viaja por algún medio, como el aire, las moléculas del medio oscilan hacia adelante y hacia atrás; cuando una onda en la superficie del agua se desplaza por un estanque, las moléculas de agua oscilan hacia arriba y hacia abajo y hacia adelante y hacia atrás. Cuando las ondas viajan a través de un medio, las partículas del medio se mueven en ciclos repetitivos. Por consiguiente, el movimiento de las partículas guarda una gran semejanza con el movimiento periódico de un péndulo o el de una masa unida a un resorte.

Hay muchos otros fenómenos en la naturaleza cuya explicación requiere que se comprendan los conceptos de oscilación y ondas. Para entender cómo trabajan la radio y la televisión se debe entender el origen y la naturaleza de las ondas electromagnéticas y la forma en que se propagan por el espacio. Mas aún, mucho de lo que los científicos han aprendido respecto de la estructura atómica ha provenido de la información que llevan las ondas. En consecuencia, se deben estudiar primero las ondas y oscilaciones para entender los conceptos y teorías de la física atómica.

Los principales tipos de ondas son las ondas mecánicas y las electromagnéticas. Las ondas sonoras y las ondas en el agua son ondas mecánicas: un medio físico se está perturbando, moléculas de aire y moléculas de agua. Las ondas electromagnéticas son una clase de onda que no necesita un medio para propagarse, y algunos ejemplos son la luz visible, las ondas de radio y de televisión.

Las ondas también pueden clasificarse como ondas transversales y como ondas longitudinales. Una onda transversal es una en la que las partículas del medio se mueven en una dirección perpendicular a la dirección de la velocidad de propagación de la onda. Una onda longitudinal es aquella en la que las partículas del medio se mueven en una dirección paralela a la dirección de la velocidad de propagación de la onda.

Cualquier onda unidimensional que viaje a una rapidez v en la dirección x puede representarse mediante una función de onda de la forma

y=f(x ± vt)

donde el signo + se aplica a una onda que viaja en la dirección x negativa, en tanto que el signo - se aplica a una onda que viaja en la dirección x positiva. La forma de onda en cualquier instante (una foto instantánea de la onda) se obtiene para un tiempo t dado o fijo.

Para una onda periódica podemos distinguir:

Su amplitud, que es su elongación máxima.

Su longitud de onda , que es la distancia entre crestas sucesivas.

El período T, que es el tiempo que tarda la cresta de la onda en recorrer la longitud de onda

Su velocidad de propagación v.

La función de onda para una onda senoidal unidimensional que viaja hacia la derecha es

y=Asen[2p/l(x - vt)]

Conceptos principales a tener en cuenta:

Movimiento armónico simple:

En el movimiento armónico simple, la aceleración siempre es proporcional al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio de manera que siempre es posible escribir:

a=-w2x

donde w es la frecuencia angular de oscilación y está relacionada con el periodo de oscilación T mediante la expresión :

T=2p/w=1/f

donde f se mide en [Hz] y es la frecuencia del movimiento.

Masas y muelles. Péndulos:

En el caso especial de un sistema formado por una masa y un muelle, el periodo de oscilación del sistema puede escribirse como:

T=2p (m/k)½

En el caso de un péndulo, para desplazamientos pequeños respecto de la posición de equilibrio, el periodo se puede expresar como:

T=2 p(l / g)½

Es importante notar, que el periodo de oscilación depende unicamente de características físicas intrínsecas al propio sistema y no, por ejemplo, de la amplitud del movimiento. Esto ocurre debido al caracter lineal de la ecuación diferencial que representa el movimiento armónico simple.

Posición y velocidad: La posición de un oscilador vendrá dada entonces por:

x(t)=A cos(w t + f)

Mientras que la velocidad vendrá dada por:

v(t)= -w A sen(w t + f) = vmax sen(w t + f)

Energía:

La energía de un oscilador armónico simple siempre es proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento. En el caso especial de un muelle de constante elástica k , la energía total de un movimiento oscilatorio de amplitud A puede escribirse como:

Etotal=½ k A2

En cualquier instante, esta energía será la suma de las energía potencial U(t) más la cinética Ec(t), es decir:

U(t)=Etotal cos2(w t + f)

Ec(t)=Etotal sen2(w t + f)

Oscilaciones amortiguadas

En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso", es decir fuerzas que (en el límite lineal que estamos estudiando) sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. Así, la ecuación diferencial que representa el movimiento de un oscilador real (para pequeños desplazamientos respecto de su posición de equilibrio):

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = 0

la solución de esta ecuación contiene un factor que da cuenta de la disminución de la amplitud con el tiempo, de manera que su solución x(t) es:

x(t) = A o e -(b / 2 m) t cos(w' t + f)

donde

w' =wo[1 -(b / 2mwo)2]½

de manera que la energía total del oscilador puede escribirse ahora como:

Etotal = ½ k A o2 e -(b / m) t

Oscilaciones forzadas y resonancia

Siempre es posible "forzar" todo oscilador mediante una fuerza externa que sea función del tiempo. Supongamos que esta fuerza es periódica de periodo Text, es decir

dx2 / dt2+ b dx / dt +w2x = Fmaxcos(wextt)

Bajo la acción de esta fuerza, la amplitud de las oscilaciones resultantes, es ahora una función de la frecuencia de forzado wext, y tendrá un máximo cuando la la frecuencia del forzado sea igual a la frecuencia propia o natural del oscilador. A este fenómeno se lo conoce con el nombre de resonancia.